南風原＠東大教育心理です。
> 谷口＠岡山大学文学研究科Ｍ２です。
>> Ｑ２：その比較が「相関係数の２乗（決定係数）を用いることで可能
>> であると言います」ということですが，その内容をもう少し詳しく教
>> えて下さい。
> 例えば，ピアソン相関係数が0.8である連関は同相関係数が0.4である連関
> の２倍ではない。比較をする一つの方法として相関係数の２乗（決定係数）
> を利用する方法がある。この方法を用いれば，相関係数が0.8である連関
> の決定係数は，0.64，相関係数が0.4である連関の決定係数は，0.16であ
> るので，0.8という連関は0.4という連関よりも4倍大きいものであると言
> える，と記述されています。
相関係数の値が２倍でも「連関が２倍である」とは言えないということ，決定
係数ならばそう言えるということですね。分かりました。
でも，「連関が２倍である」って何でしょうね。
（以下，教科書ふうになりますが）相関係数にはなくて，決定係数にはある性
質といえば，ある意味で「足し算ができる」ということです。変数ｘと変数ｙ
の関係を調べるとき，ｘからｙを予測（説明）する直線回帰を考えれば，ｘに
基づくｙの予測値ｙ’と残差（予測の誤差）ｅによって，ｙが
ｙ＝ｙ’＋ｅ
と表されます。
このとき，ｙ’とｅが無相関になるという性質があって，そのために，ｙの分
散が，ｙ’の分散とｅの分散の和に等しくなります。
ｙの分散＝ｙ’の分散 ＋ ｅの分散
この式の両辺を，左辺にあるｙの分散で割ると，
１＝決定係数＋非決定係数
となります。
さて，「足し算ができる」ということの意味ですが，いま，先のｘとはまった
く相関のない変数ｚがあり，さらにｚとｙの間の相関は，ｘとｙの間の相関に
等しいとします。つまり，ｘとｚは，ｙを予測する上で同等な変数で，かつ互
いに無相関のものです。
このｘとｚの両方を用いてｙを予測したらどうなるか，というと，
ｘ，ｚとｙの重相関係数＝ｘとｙの相関係数＋ｚとｙの相関係数
＝ｘとｙの相関係数の２倍
とはなりませんが，各項を２乗した決定係数については，
ｘ，ｚによる重決定係数＝ｘによる決定係数＋ｚによる決定係数
＝ｘによる決定係数の２倍
となり，単純な足し算が成り立ちます。
先の「決定係数を用いれば「連関が２倍」などと言える」というのは，いま述
べたことが根拠になっていると思います。
さて，もともとのご質問は，
> Ｑ：複数の相関係数の比較を行う場合，Pearsonの相関係数では，相関係
> 数の２乗（決定係数）を用いることで可能であると言いますが，これは
> Spearmanの順位相関係数にも当てはまるのでしょうか？
というものでした。ご存じのように，もとの変数をそれぞれ順位に置き換えて，
その上でピアソンの式を適用したものがスピアマンの相関係数ですから，順位
に変換した後の尺度については，上の議論が（数学的には）そのまま成り立ち
ます。
ただ，上の議論の出発点となった分散の分割（いわゆる分散分析）は，素デー
タの尺度を暗黙に仮定しているように思います。ですから，「スピアマンの順
位相関係数の２乗」というようなものは，私には奇異な感じがします。
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南風原朝和 (はえばら ともかず)
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