狩野＠つくば大学です
> 堀 啓造＠香川大学経済学部です。[fpr 371]の自己フォローです。
>
> >(4)ＳＡＳとＥＱＳがＡＩＣ＝χ2−２ｄｆ を使っているのは問題がありそう。ＡＩＣだ
> >から２ｔを使うのが筋のように思えるが、dfを使う意味がなにかあるのでしょうか。
>
> Bollen and Long (eds.) Testing structural equation models. Sage. 1993
>
> を眺めていると、Bollen, Joreskogの２人は別の章を書いていますが、
> ＡＩＣ＝χ2−２ｄｆ を使ってます。宗旨替えか。こちらのほうがメリットがあるのかな
> 。Bollen の章のグラフを見ていると、マイナスに意味がありそうがグラフがでています
> 。やはり知りたい、どういう意味があるのか。
別に意味がある訳ではありません。どちらでも良いのです。
項目数: p
パラメータ数: t=dim(θ)
自由度: df
とすると、
df=p(p+1)/2-t
なる関係式があるので
χ^2 - 2df = χ^2 + 2t-p(p+1)
となり、-2df を使っても +2t を使っても、定数 -p(p+1) しか違わないことに
なります。AIC はそれ自身の値には意味はなく、２つ以上のモデル間の比較(AIC
の差)に意味があるので、定数を加えたり、引いたりしても問題はないのです。
ここで、「定数」とは、モデルΣ(θ)に依存しない量で、確率変数であってもか
まいません。
CSA の context では、χ^2 とその自由度 df がなじみが深いので、パラメータ数
を表に出していないソフトが多いのだと思います。
以下補足：
AIC の本来の定義は
AIC ＝ -2(モデルの最大対数尤度)＋2(モデルの自由パラメータ数)
です。正規母集団では、共分散構造モデルΣ(θ)に対して
-2(モデルの最大対数尤度)＝n{log|Σ(^θ)| + tr[ＳΣ(^θ)^{-1}]+ plog(2π)}
ですが、これ自身はχ2 ではありません。「定数」である
n{plog(2π)+log|Ｓ|+p}
をひくことにより、
n{log|Σ(^θ)| + tr[ＳΣ(^θ)^{-1}] - log|Ｓ| - p}
が、χ2 のパートになるのです。ここで既に、「定数を加えたり、引いたりしても
問題はない」という性質を使っています。
CSA でよくでてくる AIC の定義は
AIC＝χ2 - 2df
＝n{log|Σ(^θ)| + tr[ＳΣ(^θ)^{-1}] - log|Ｓ| - p} - 2df
ですが、本来のAICの定義との違いをみるために、若干の式変形をすると
＝n{log|Σ(^θ)| + tr[ＳΣ(^θ)^{-1}] + plog(2π) -plog(2π)
- log|Ｓ| - p} - 2(p(p+1)/2-t)
＝n{log|Σ(^θ)| + tr[ＳΣ(^θ)^{-1}] + plog(2π)} + 2t
-nplog(2π) - nlog|Ｓ| -np - p(p+1)
＝AIC - nplog(2π)- nlog|Ｓ| - np - p(p+1)
となります。したがって、CSA のパッケージでのAICの出力の多くは
- nplog(2π)- nlog|Ｓ| - np - p(p+1)
が、本来のAICの定義に加えられている、ということになります。
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