岡本＠金沢大学文学部です。
狩野@大阪大学さんの「[fpr 778] 直交解か斜交解か？」に関する補足です。
本ML（fpr）では、大筋の結論はでているのですが、私のメールについて
頂いたコメントに少し補足します。
＞求まらないはずです．（岡本さんは議論を簡単にするためにこのモデルを選んだのでし
「TURBO Pascal」で用いたデータを生成するときに用いたモデルでは、観測変数は
７つです。また、因子の係数も１あるいは０というわけではなく、１あるいは０に
近い値で、観測変数ごとに少しずつ変えてあります。 データの生成に使用した
変数（因子）は直交３変数で、生成したデータの分析によって得られた因子空間は
２次元です。TURBO Pascal（1988, pp.131-135）にデータと解があります。
＞ モデル１ モデル２
＞Ｌ Ｐ Ｌ Ｐ
＞2 1 1 0 2.2 0 1 0.8
＞2 1 0 1 2.2 0 0.8 1
＞2 1 2.2 0
＞1 2 0 2.2
＞1 2 0 2.2
＞1 2 0 2.2
＞
＞両モデルは，まったく同一の分散共分散行列を与えます．モデル１は直交解です．この
＞解に斜交回転を施すと，モデル２かそれに近い値が出てくるでしょう．たとえ真の因子
＞が直交していても，斜交回転すれば，因子相関は，近似的にでも０にはならないことが
＞あるのです．逆に，モデル２のように真の因子が斜交であったとしても，美しい直交解
^^^^^^^^^^^
^
＞が求まります．例外的に，完全な単純構造の場合はうまくいきくと思います．たとえば
^^^^^^^^^^^^
「美しい」の意味が明記されていません。
座標（2,1）と原点（0,0）、座標（1,2）と原点（0,0）を結ぶ直線は明らかに直交
していないので、モデル１がデータの分析結果として得られた場合は斜交解を求める
べき場合だと思います。すなわち、点（2,1）を通る因子G1と、点（1,2）を通る因子
G2を求めるのが斜交回転の考え方だと思います。
補足の補足：
「識別」の意味が明記されていないので、この点についての補足です。
私が「identifiability」という言葉を用いたときは、数理学習理論（特に、
Markovモデルを用いたもの）での言葉としてでした。モデルのパラメータが
データから一意に求まる、モデルにおける複数のステートが１つにまとめられない、
というときidentifiableといっていたと思います。
さて、因子分析の場合は、回転による不確定性がありますので、上記の意味では
そもそもidentifiabilityはありません。どの回転による解が真の因子なのかを決める
ことは一般的なモデルだけからでは無理です。Bi-factor theoryとか、ある種の
構造が設定されてidentifiableになるということはありますが。一般的なモデル
自体には回転における価値判断の基準がありません。単純な解がよいというのは、
分析者の価値判断です。回転によって得られるどの解を適当なものとするかと
いうことは、説明が可能であるなど、分析者の何らかの知見が必要です。もっとも、
回転による不確定性があっても、因子空間は固定されている、すなわち回転に
よって空間が変わるわけではないので、因子空間のidentifiablilityを問うことは
できますが。
岡本安晴
C00279 (at) simail.ne.jp
ここは心理学研究の基礎メーリングリストに投稿された過去の記事を掲載しているページです。