岡本＠金沢大学です。
Stevens (Science, 1968, p.852）の
The question is
thereby made to turn, not on whether
the measurement scale determines the
choice of a statistical procedure, but
on how and to what degree an inap-
propriate statistic may lead to a deviant
conclusion.
に従って、ＲＴの検定における変換の影響をシミュレーションで
調べてみました。
ＲＴデータを乱数で生成するための分布は次のように決めました。
まず、刺激が提示されるとランダムな時間間隔で入力系にシグナルが入力
されると考えます。これはRandom Walkモデルの一種と考えることができます。
シグナルがｋ個入力されたとき反応系に反応の命令が行くと考えます。ｋは
判断の基準と考えることができます。シグナルの間隔は指数分布に従うと
します。これはシグナルがポアッソン過程に従うということです。
このとき、反応系（運動系）の時間を無視すると、反応時間は独立なｋ個の
指数分布の和になるので、Erlang－ｎ分布に従います。
Erlang-ｎ分布を描画するプログラムを次のホームページ
http://www.users.kudpc.kyoto-u.ac.jp/~e50048/rt/
にアップロードしておきました。興味のある方は試して下さい。
反応時間は２条件の下で独立なサンプルとして得られるものとします。
すなわち、x[1],...,x[n]、と、y[1],...,y[n]、の２グループのデータを生成
します。
x[i]は常にパラメータがLambda=0.05, k=5であるErlang-n分布に従う乱数で
生成します。
y[i]の方は、Lambda=0.05として、ｋの値を5,6,7,10と変えます。
また、１条件あたりのデータ数ｎの値も10,20,50,100の３通りについて
調べます。
検定法は、変換しない場合、対数変換、逆数変換の場合のｔ検定、とMann-
Whitney U テストです。
シミュレーションに用いたプログラムはErlang－ｎ分布の描画プログラムと
同じホームページ
http://www.users.kudpc.kyoto-u.ac.jp/~e50048/rt/
にアップロードしてあります。
シミュレーションの結果を以下の表にまとめます。m1/m2の形でm2回の
検定においてm1回有意差が認められたことを示します。p1～p2の形は
有意差の認められる確率をm1/m2の頻度から２項検定に基づいて95％水準の
信頼区間として表わしたものです。
k=5の欄は、x[i]とy[i]が同じ分布の場合です。したがって、p1～p2は
第一種の誤りの確率の推定値です。
k=5以外の欄は、x[i]とy[i]の分布が異なるときに有意差ありとされる
確率なので、p1～p2は検定力の推定になります。
検定はすべて片側検定で行っています。
検定の水準は５％と１％です。
Ｕテストの検定は標準正規分布による近似を用いています。
====================================================================
無変換 対数変換 逆数変換 Ｕテスト
====================================================================
n=10
--------------------------------------------------------------------
k=5
5% 501/10000 491/10000 456/10000 537/10000
0.046～0.055 0.045～0.054 0.042～0.050 0.049～0.058
1% 95/10000 94/10000 63/10000 86/10000
0.008～0.012 0.008～0.011 0.005～0.008 0.007～0.011
--------------------------------------------------------------------
k=6
5% 2352/10000 2452/10000 2253/10000 2397/10000
0.227～0.244 0.237～0.254 0.217～0.234 0.231～0.248
1% 750/10000 773/10000 562/10000 744/10000
0.070～0.080 0.072～0.083 0.052～0.061 0.069～0.080
--------------------------------------------------------------------
k=7
5% 5552/10000 5745/10000 5356/10000 5625/10000
0.545～0.565 0.565～0.584 0.526～0.545 0.553～0.572
1% 2751/10000 2879/10000 2135/10000 2637/10000
0.266～0.284 0.279～0.297 0.206～0.222 0.255～0.272
--------------------------------------------------------------------
k=10
5% 9916/10000 9936/10000 9799/10000 9910/10000
0.990～0.993 0.992～0.995 0.977～0.983 0.989～0.993
1% 9342/10000 9445/10000 8347/10000 9276/10000
0.929～0.939 0.940～0.949 0.827～0.842 0.922～0.933
====================================================================
n=20
--------------------------------------------------------------------
k=5
5% 517/10000 497/10000 496/10000 530/10000
0.047～0.056 0.046～0.054 0.045～0.054 0.049～0.058
1% 96/10000 92/10000 79/10000 83/10000
0.008～0.012 0.007～0.011 0.006～0.010 0.007～0.010
--------------------------------------------------------------------
k=6
5% 3824/10000 4030/10000 3733/10000 3933/10000
0.373～0.392 0.393～0.413 0.364～0.383 0.384～0.403
1% 1558/10000 1656/10000 1300/10000 1484/10000
0.149～0.163 0.158～0.173 0.123～0.137 0.141～0.156
--------------------------------------------------------------------
k=7
5% 8136/10000 8376/10000 8076/10000 8168/10000
0.806～0.821 0.830～0.845 0.800～0.815 0.809～0.824
1% 5638/10000 5993/10000 5136/10000 5559/10000
0.554～0.574 0.590～0.609 0.504～0.523 0.546～0.566
--------------------------------------------------------------------
k=10
5% 10000/10000 10000/10000 9995/10000 10000/10000
0.9997～1.0 0.9997～1.0 0.9988～0.9998 0.9997～1.0
1% 9991/10000 9998/10000 9906/10000 9995/10000
0.998～ 0.9993～ 0.989～ 0.9988～
0.9996 0.99998 0.992 0.9998
====================================================================
n=50
--------------------------------------------------------------------
k=5
5% 537/10000 516/10000 515/10000 517/10000
0.049～0.058 0.047～0.056 0.047～0.056 0.047～0.056
1% 94/10000 98/10000 86/10000 95/10000
0.008～0.011 0.008～0.012 0.007～0.011 0.008～0.012
--------------------------------------------------------------------
k=6
5% 6881/10000 7236/10000 6821/10000 6978/10000
0.679～0.697 0.715～0.732 0.673～0.691 0.689～0.707
1% 4264/10000 4634/10000 3993/10000 4304/10000
0.417～0.436 0.454～0.473 0.390～0.409 0.421～0.440
--------------------------------------------------------------------
k=7
5% 9926/10000 9951/10000 9902/10000 9932/10000
0.991～0.994 0.994～0.996 0.988～0.992 0.991～0.995
1% 9549/10000 9683/10000 9396/10000 9594/10000
0.951～0.959 0.965～0.972 0.935～0.944 0.955～0.963
--------------------------------------------------------------------
k=10
5% 10000/10000 10000/10000 10000/10000 10000/10000
0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0
1% 10000/10000 10000/10000 9996/10000 10000/10000
0.997～1.0 0.997～1.0 0.9990～0.9999 0.997～1.0
====================================================================
n=100
--------------------------------------------------------------------
k=5
5% 529/10000 503/10000 484/10000 495/10000
0.049～0.057 0.046～0.055 0.044～0.053 0.045～0.054
1% 99/10000 99/10000 95/10000 100/10000
0.008～0.012 0.008～0.012 0.008～0.012 0.008～0.012
--------------------------------------------------------------------
k=6
5% 9154/10000 9348/10000 9041/10000 9207/10000
0.910～0.921 0.930～0.940 0.898～0.910 0.915～0.926
1% 7550/10000 7959/10000 7296/10000 7626/10000
0.746～0.763 0.788～0.804 0.721～0.738 0.754～0.771
--------------------------------------------------------------------
k=7
5% 10000/10000 9999/10000 9999/10000 10000/10000
0.997～1.0 0.9994～ 0.9994～ 0.997～1.0
0.999998 0.999998
1% 9996/10000 9999/10000 9991/10000 9998/10000
0.99898～ 0.9994～ 0.998～ 0.9993～
0.9999 0.999998 0.9996 0.99998
--------------------------------------------------------------------
k=10
5% 10000/10000 10000/10000 10000/10000 10000/10000
0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0
1% 10000/10000 10000/10000 10000/10000 10000/10000
0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0 0.997～1.0
=====================================================================
上の表から、いずれの検定法もよく似た結果であることが分かります。
対数変換が、若干、検定力が他より高いようです。
しかし、 Stevens (Science, 1968, p.853)の
The scientist has reason to feel that
a statistical model that specifies the
form of a canonical distribution be-
comes uninterpretable when the empir-
ical domain concerns only ordinal data.
に従うとき、反応時間が順序尺度のレベルであると考えるならば、
ノンパラメトリック検定（Ｕテスト）を用いるのが心理学的な考え方
としては正しく、しかも上の表から判断するときノンパラメトリック検定
を避ける理由はないということになります。
岡本 安晴
c00279 (at) simail.ne.jp
ここは心理学研究の基礎メーリングリストに投稿された過去の記事を掲載しているページです。