森＠広島大 です。
ご指名のようなので、ＲＯＭ状態を決め込むわけにはいけませんよね。
標準偏差と平均偏差については、ただ今できつつある本（サイエンス社から出版の予定）
の中で私は次のように説明しておきました。
それから豊田さん、不偏分散の式の説明が不明確ですみません。私は豊田さんのように頭
脳明晰ではないもので、つい例やたとえで曖昧に説明してしまうという悪い性癖があるよ
うです。ただ、（お言葉を返すわけではありませんが）私の経験では、あの説明でも、た
いていの学生は納得してくれるみたいです。この１７年間で一度だけ厳密な式の証明を要
求してきた学生がいましたが。おそらく学生のレベルの違いか教師の力量の違いのいずれ
か（おそらく後者？）なのでしょうね。
ところで、明日からは４日間、函館へ出張なのですが、この時期の函館は「半袖」でもよ
いのでしょうか。昨年の８月に集中講義で札幌へ行ったときには広島と有意差のない程度
の蒸し暑さでしたが・・・。
33．散布度の測度としては、平均偏差の方が意味がわかりやすいのですが、なぜ、標準偏
差の方がよく使われるのでしょうか。（森先生）
例えば｛６，７，７，７，８｝と｛３，５，７、８、12｝という２つのデータを比較し
てみましょう。これら２つのデータの平均値は、どちらも７になります。しかし、データ
の分布が異なっているのは明らかです。つまり、前者のデータの場合、平均値から遠く離
れた（偏差の大きい）測定値があまりありません。これに対し後者のデータの場合、平均
値から遠く離れた測定値がかなり混じっています。このような測定値のちらばり方の大き
さが散布度であり、標準偏差も平均偏差も、このデータの散布度を記述する統計的測度な
のです。
標準偏差とは
標準偏差を算出する原理は次の通りです。まず、各測定値の平均値からの偏差（Ｘi−
Ｘ）を求めます。すなわち上記の２つのデータの場合、｛−１，０，０，０，＋１｝と｛
−４，−２，０，＋１，＋５｝という偏差が得られます。これで、２つのデータの散布度
の違いは明らかでしょう。次に散布度を数値で記述するために、偏差の総和 Σ(Ｘi−Ｘ)
を算出してみましょう。しかし、これではどちらのデータの場合も Σ(Ｘi−Ｘ)＝０とな
り、両者の散布度の違いを区別することができません。偏差がプラスになる測定値とマイ
ナスになる測定値が相殺し合って、平均値からの偏差の総和は、常に０になってしまうか
らです。そこで、プラス・マイナスの符号を消すために、偏差の２乗の総和を算出してみ
ましょう。そうすると、２つのデータの偏差の２乗和は、それぞれ Σ(Ｘi−Ｘ)2＝２ お
よび Σ(Ｘi−Ｘ)2＝46 になります。この偏差の２乗和を用いれば、散布度の測度ができ
そうです。しかし、偏差の２乗和は、散布度の測度としてはまだ不完全です。なぜなら、
測定値の数によって偏差の２乗和の意味が異なるからです（データの数が多くなれば、散
布度が小さくても偏差の２乗和は大きくなる）。したがって、測定値の数に影響されない
ようにするために、測定値の数で割って平均します。すなわち、偏差の２乗和の平均値を
散布度の測度にするのです。この「平均値からの偏差の２乗和の平均」が、散布度の測度
としてしばしば用いられる分散に他なりません。
しかし、分散と平均値を用いて度数分布の形状を記述しようとすると、次のような問題
が生じます。すなわち、分散には偏差のプラス・マイナスの符号を消すために２乗するの
で、平均値と分散の単位がそろわないという欠点があります。例えば、測定値の単位が長
さ（ｍ）だとすると、平均値の単位は長さ（ｍ）、分散の単位は広さ（ｍ2）になってし
まいます。そこで、分散の正の平方根である標準偏差（ＳＤ）を求め、これを散布度の測
度にするのです。データの分布が正規分布であれば、平均値を中心にして上下に１ＳＤの
範囲に全データの約68.3％（２ＳＤの範囲に約95.4％、３ＳＤの範囲に約99.7％）が入り
ます。このような意味で、標準偏差は散布度の測度といえるのです。
平均偏差とは
ところで、偏差のプラス・マイナスの符号を消すために、絶対値を求めるという方法も
考えられます。つまり、「平均値からの偏差の絶対値の平均」を求め、これを散布度の測
度にするのです。実はこれが平均偏差（ＭＤ）と呼ばれる散布度の測度の一種なのです。
この平均偏差は、標準偏差のように２乗して開平するという面倒な処理を行わないので、
散布度の測度としての意味はわかりやすいといえるでしょう。しかし、平均値とセットに
して度数分布の形状を記述するための測度としては、標準偏差の方が平均偏差よりも多く
用いられます。それは、標準偏差の方が数学的処理が便利であるのに加えて、平均値が「
偏差の絶対値の総和」ではなく「偏差の２乗和」を最小にする定数だからです（偏差の絶
対値の総和を最小にする定数は中央値）。
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森 敏昭 Toshiaki Mori
E-mail:tosmori (at) ipc.hiroshima-u.ac.jp
Tel & Fax: 082-941-1817
広島市佐伯区五月が丘1-10ー26
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